序文

遷移金属のスペクトル項の求め方がようやく（何となく）わかったので書き記す。
これが正しいやり方かどうかは知らんがまあ求められる。

d軌道に電子2つの（ $d ^ 2$ ）の場合

先ず電子のスピン状態を $\alpha , tex: \beta$ とする。
d電子2つの場合以下の場合がある。
（例えば $d _ \alpha ^ 2$ , $d _ \beta ^ 0$ は、d軌道にある"スピン状態が $\alpha , \beta$ の電子"がそれぞれ2, 0個あるという意味）

$d _ \alpha ^ 2 , d _ \beta ^ 0$ $d _ \alpha ^ 1 , d _ \beta ^ 1$ $d _ \alpha ^ 0 , d _ \beta ^ 2$

ここでそれぞれの場合におけるスペクトル項を求める。

$d _ \alpha ^ 2 , d _ \beta ^ 0$ の場合

この場合はパウリの排他原理により、同じ軌道角運動量を持つ電子は存在できない。
（両方ともスピン量子数が同じで、2つの電子がd軌道に入っていて、かつ同じ"磁気量子数に対応する軌道"に入ることはできないということ）
また全スピン量子数 $S$ は1になる。

電子の軌道角運動量 $l$ が+1 .. -1の範囲内において、2つの電子の軌道角運動量の組み合わせは以下の3パターンが挙げられる。

+1, 0
+1, -1
 0, -1

これはスペクトル項 $P$ に相当する。
パターンの数は、要は順番を区別しない"組み合わせ"なので $_3C_2$ で求められる。

次に電子の軌道角運動量が+2 .. -2の範囲内において、2つの電子の軌道角運動量の組み合わせは以下の10パターンが挙げられる。

+2, +1
+2, 0
+2, -1
+2, -2
+1, 0
+1, -1
+1, -2
 0, -1
 0, -2
-1, -2

これもパターンの数は $_5C_2$ で求められる。
このうち、[+1, 0-], [+1, -1], [0, -1]の組み合わせはスペクトル項 $P$ と同じなので取り除く。
残りの7パターンがスペクトル項 $F$ に相当する。

$d _ \alpha ^ 0 , d _ \beta ^ 2$ の場合

これは $d _ \alpha ^ 2 , d _ \beta ^ 0$ の場合と求め方が同じなので割愛する。

$d _ \alpha ^ 1 , d _ \beta ^ 1$ の場合

2つの電子スピン量子数が異なるため、それぞれ同じ軌道角運動量を持つことができる。
全スピン量子数 $S$ は0になる。

2つの電子の軌道角運動量の組み合わせは5*5=25で結構いっぱいあるのでパターン一覧は書かない。
全軌道角運動量は4 .. 0 まであり、スペクトル項は大きい順に $G, F, P, D, S$ となる。

全ての項をまとめる

$d _ \alpha ^ 2 , d _ \beta ^ 0$ の場合、及び $d _ \alpha ^ 0 , d _ \beta ^ 2$ の場合より、 $d ^ 2$ には $^3 F + ^3 P$ という項が含まれていることがわかる。
（左上付きの数字はスピン多重度 $2S + 1$ の値（全スピン量子数の取りうる値の数）で、3の場合は三重項と呼ぶ）